La topologia en dimensión infinita

Todas las normas en un espacio finito-dimensional son equivalentes, producen el mismo espacio topológico. El álgebra lineal finito dimensional sobre los números complejos es independiente de la topología. Porque los números complejos son más fáciles que los reales por el Teorema fundamental del álgebra. Pero este teorema algebraico está enlazado doblemente en un nudo gordiano con la topología de la recta ( cada ecuación cúbica tiene una raíz real) y con la topología del plano ( el plano agujerado no es contractible). Así, la independencia no es completa.

Pero la cosa es diferente en dimensión infinita. La topología juega un papel crucial cuando pasamos de matrices finitas a infinitas. Podemos definir varias topologías, pero para que el paso no fuera un salto al vacío, fue muy importante extender la geometría finito dimensional a dimensión infinita. Hilbert en su explicación de la alternativa de Fredholm dio la pista. Pero fue von Neumann el que se dio cuenta de la importancia de la extensión que Hilbert había hecho a dimensión infinita y axiomatizó su enfoque e introdujo el concepto de Espacio de Hilbert.

La riqueza que se obtiene al pasar a dimensión infinita queda reflejado en el Sumario del libro de Bourbaki sobre Espacios vectoriales topológicos p.355-358, que incluyo en una ventana abajo para descargar. Al lado, la Figura 1. muestra la plétora de topologías en el espacio de los operadores acotados.

El globo de lo lineal insuflado con infinitas dimensiones sin el contrapeso de la topología puede ir a ninguna parte. Como ejemplo, la deriva que tomó la matemática con la teoría de conjuntos que Cantor se encontró en sus investigaciones de series trigonométricas condujo muy rápidamente a las crisis del Infinito. Curiosamente esta deriva comienza en el proyecto de aritmetización que Lambert esbozó para abordar el problema de la teoría de las paralelas. El descubrimiento de las geometrías no euclidianas dejó a la aritmética como la única fuente de conocimiento a priori. Y la aritmetización sólo posible sobre el fundamento del infinito actual. En la aritmetización de la recta es necesario postular la existencia real no solo potencial ( el espacio es aquí y ahora) del conjunto de los números reales, un conjunto que resultó con una cardinalidad infinita superior al cardinal numerable de los números naturales. Así las matemáticas transciende en el Mundo III a una región que va más allá de los límites humanos. Es la hipótesis audaz del infinito actual la que hizo de las matemáticas un artefacto muy poderoso. Esta hipótesis tiene dos facetas. La primera fue la del limite de una aproximación por un proceso finito con un número de pasos creciente, pero un artificio lógico redujo el infinito a una manera de hablar. Entre los espacios de Hilbert, que generalizan el espacio euclidiano a dimensión infinita, podemos quedarnos con los que son limites de sus subespacios finito dimensionales, decimos que se trata de los separables y de nuevo la introducción del infinito en geometría infinito dimensional el infinito se reduce a una manera de hablar. Pero necesariamente, en la reducción de la geometría al número el infinito actual se cuela.

Veamos un ejemplo de la importancia que tiene la existencia de topologías diferentes en el álgebra lineal de dimensión infinita. En el ejemplo es tomado del libro de Connes sobre Geometría no conmutativa. Las diferentes topologías se corresponden con con diferentes álgebras y surgen las notables oportunidades en donde el álgebra y la topología se determinan mutuamente, el mejor de los mundos posibles, ángeles y demonios viviendo juntos. El Teorema de von Neumann del doble conmutante que Connes cita es un ejemplo de ello y otro muy notable también es la determinación de la norma de un elemento de una C* álgebra por su radio espectral. La topología determinada por el álgebra.

Tomado de Paya, p.25