El resumen de la biografía de Dedekind en McTutor reza:
Richard Dedekind's major contribution was a redefinition of irrational numbers in terms of Dedekind cuts. He introduced the notion of an ideal in Ring Theory.
Es injusto. La importancia del papel de Dedekind en la conformación de la matemática moderna es inmensa. Ya lo reconoció Emmy Noether quien solía repetir : ''Todo ya estaba en Dedekind". Ferreiros hace un largo alegato muy bien sustentado para defender el aporte de Dedekind.
La matemática moderna comienza con el reconocimiento de Hilbert y de una buena parte de la 'tribu' que el lenguaje natural de las matemáticas es el de la teoría de conjuntos (finitos e infinitos) de Cantor. Un viejo cacique, Kronecker consideraba 'perversos' a los evagenlistas del nuevo credo de los números transfinitos, una consecuencia necesaria de la teoría de los conjuntos de Cantor. Y caciques jóvenes como Poincaré y Weyl no comulgaban con las nuevas ideas por el horror a las paradojas. Todavía más de un siglo después y a pesar de que Zermelo y Fraenkel axiomatizaron la TC dejando por fuera las paradojas. Pero su axioma de elección, bastante intuitivo, aplicado a colecciones infinitas de conjuntos produce consecuencias contraintuitivas. Y para que la cosa sea peor; Godel demostró que no se puede probar la consistencia ZFC.
Kurt Gödel probó que la consistencia lógica de los axiomas de ZFC es indemostrable. A lo sumo se pueden demostrar afirmaciones como si ZFC es consistente, entonces "T" también lo es, es decir la consistencia relativa. En cuanto a la completitud, el propio Gödel en sus teoremas de incompletitud demostró que si un sistema axiomático es lo suficientemente fuerte como para construir una aritmética recursiva, dicho sistema no puede ser completo y consistente. De WIKI
Antes de Hilbert, Dedekind había adoptado este lenguaje en sus textos.
Dedekind fue un hombre modesto y sus motivaciones para sus reformulaciones fueron pedagógicas. Gauss su profesor lo recomendó por sus dotes pedagógicas y él hizo poco para dejar el papel para el que Gauss lo consideraba. Preocupado, entonces, por las dificultades que sus estudiantes de educación media tenían con la idea de número real, encontró que la noción de 'cortatura' de números racionales permitía definir el conjunto de los nuéros reales y sus operaciones. Por primera vez, se sabia que es ¡la raíz cuadrada de 2 + la raiz cuadra de tres! en la nueva teoría de Cantor, a la que el propio Dedekind había hecho aportes fundamentales. El conjunto infinito de los números reales adquiere realidad en el mundo III. Bastaba con postular la realidad de un conjunto infinito.
Su descubrimiento lo plasmó por escrito en su librito. Cantor es introspeccion, Kroenecker es extrospección. Se llega al infinito en el viaje de la mente. No existen en el mundo I conjuntos infinitos. El infinito potencial de Aristóteles compatible con las obervaciones extrospectivas fue el infinito de las matemáticas antes de Cantor. Este lo realiza: Existe un conjunto infinito 𝚴. Con este se construyen racionales Y, por lo tanto el conjunto de sus partes que es ¡un infinito más grande! Se abre asi la caja de Pandora
Nació en Brunswick (en alemán, Braunschweig), el más joven de los cuatro hijos de Julius Levin Ulrich Dedekind. Vivió con Julia, su hermana soltera, hasta que esta falleció en 1914;. En 1848 entró en el Colegium Carolinum de su ciudad natal, y en 1850, con sólidos conocimientos de matemáticas en la Universidad de Gotinga.
Dedekind aprendió matemáticas en los departamentos de matemáticas y física de aquella universidad, siendo uno de sus principales profesores Moritz Abraham Stern, y también física de la mano de Wilhelm Eduard Weber. Su tesis doctoral, supervisada por Gauss, se titulaba Über die Theorie der Eulerschen Integrale (Sobre la teoría de las Integrales eulerianas), y aunque en ella no se reflejaba el talento que mostró en sus trabajos posteriores, Gauss supo apreciar el don de Dedekind para las matemáticas. Dedekind recibió su doctorado en 1852, siendo el último alumno de Gauss, y trabajó a continuación en una tesis de habilitación, que era necesaria en Alemania para obtener la "venia docendi" (habilitación de enseñanza docente en universidades alemanas).
Durante los siguientes años, estudió teoría de números y otras materias con Gustav Dirichlet, al que le uniría una gran amistad. Para ampliar sus conocimientos, abordó el estudio de las funciones abelianas y elípticas de la mano del genial Bernhard Riemann. Sólo tras estas experiencias, en su formación, encontró al fin sus campos de trabajo principales: el álgebra y la teoría de números algebraicos. Se dice de él que fue el primero en impartir clases universitarias sobre la teoría de las ecuaciones de Galois. Fue además el primero en comprender el significado fundamental de las nociones de grupo, cuerpo, Ideal en el campo del álgebra, la teoría de números y la geometría algebraica.
Sus cortaduras zanjan definitivamente el problema de la fundamentación del análisis al definir el conjunto de los números reales a partir de los racionales. En su magistral artículo de 1872, Dedekind caracterizó los números reales como un cuerpo ordenado y completo, y ofreció un desarrollo de toda la cuestión que es un modelo de organización y claridad.
Su trabajo sobre los números naturales fue también fundamental, sentando bases para la teoría de conjuntos, junto con Frege y Cantor, y dando una fundamentación muy rigurosa de los llamados Axiomas de Peano (publicados por el italiano un año más tarde).
Con ser importantes, esas no fueron las contribuciones principales de Dedekind a la matemática pura: trabajó toda su vida en la teoría de números algebraicos, que en buena medida creó. Y en el proceso, sentó muchos de los métodos característicos del álgebra moderna, hasta el punto de que Emmy Noether solía repetir que "todo está ya en Dedekind".
La correspondencia de Dedekind con otros matemáticos resultó especialmente fructífera y estimulante: ante todo la correspondencia con Cantor, donde asistimos al nacimiento de la teoría de conjuntos transfinitos; pero también la correspondencia con H. Weber, que entre otras cosas condujo a un artículo pionero de la geometría algebraica; y la que mantuvo con Frobenius, impulsando el desarrollo de la teoría de representaciones de grupos.
R. Dedekind. ¿Qué son y para qué sirven los números?, y otros escritos. Edición de J. Ferreirós. Madrid, Alianza, 1997.
S. W. Hawking (ed). Dios creó los números. Barcelona, Crítica, 2007. Incluye los trabajos sobre números naturales y reales.
Biografía de Dedekind en Divulgamat: https://web.archive.org/web/20110316003018/http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/mateospetsuak/dedekind.asp
Artículo de Ignasi Jané sobre Dedekind y Cantor: https://web.archive.org/web/20101011011205/http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Gaceta/Historia43.pdf
Correspondencia con Cantor, disponible en Cantor, Georg (2005): Fundamentos para una teoría general de conjuntos: escritos y correspondencia selecta; ed. J. Ferreirós; Barcelona, Editorial Crítica